线性代数笔记

1. 行列式与矩阵基础

行列式 (Determinant)

行列式是一个将方阵映射为一个标量的函数。它的几何意义是线性变换下的体积伸缩因子。

• 核心性质：
  • ​|AB| = |A||B|
  • ​|A^T| = |A|
  • ​|kA| = k^n|A| （​A 为 ​n 阶方阵）
  • ​|A^{-1}| = |A|^{-1} （若 ​A 可逆）

逆矩阵 (Inverse Matrix)

对于 ​n 阶方阵 ​A，若存在 ​B 使得 ​AB = BA = E，则 ​A 可逆，​B = A^{-1}。

• 可逆的等价条件（极其重要）：
  • ​A 可逆 ​\iff |A| \neq 0
  • ​\iff r(A) = n （满秩）
  • ​\iff A 的列（行）向量组线性无关
  • ​\iff 0 不是 ​A 的特征值
• 伴随矩阵求逆公式：
  A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*

2. 矩阵的秩 (Rank)

矩阵的秩 ​r(A) 是矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数，是贯穿线代始终的核心概念。

• 核心性质：
  • ​r(A) = r(A^T)
  • ​r(A+B) \le r(A) + r(B)
  • ​r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}
• 初等变换不改变矩阵的秩。我们通常通过初等行变换将矩阵化为阶梯型矩阵来求秩。

3. 向量组与线性方程组

这是线性代数要解决的核心应用问题。

线性相关与线性无关

对于向量组 ​\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s，若存在不全为零的实数 ​k_1, k_2, \dots, k_s 使得：

则称该向量组线性相关。若只有当 ​k_i 全为 0 时等式才成立，则线性无关。

齐次线性方程组 ​Ax = 0

• 永远有零解。
• 有非零解的充要条件：​r(A) < n （​n 为未知数个数）。
• 基础解系：解空间的最大线性无关组，包含 ​n - r(A) 个解向量。

非齐次线性方程组 ​Ax = b

• 无解：​r(A) \neq r(A|b)
• 有唯一解：​r(A) = r(A|b) = n
• 有无穷多解：​r(A) = r(A|b) < n
• 解的结构：通解 = 对应的齐次方程组的通解 + 本身的一个特解。

4. 特征值与特征向量

研究矩阵如何对空间进行“拉伸”而不是“旋转”。

定义与计算

若对方阵 ​A，存在非零向量 ​x 和标量 ​\lambda 满足：

则 ​\lambda 为特征值，​x 为对应的特征向量。

• 特征方程：​|\lambda E - A| = 0，解出 ​\lambda。
• 核心性质：
  • ​\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) （主对角线元素之和，即迹）
  • ​\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|

相似与对角化

若存在可逆矩阵 ​P 使得 ​P^{-1}AP = B，则 ​A 与 ​B 相似。

• ​A 可对角化的充要条件：​A 必须有 ​n 个线性无关的特征向量。
• 实对称矩阵的超级特权：
  • 特征值必定全为实数。
  • 属于不同特征值的特征向量必定相互正交。
  • 必定可以正交相似对角化：存在正交矩阵 ​Q（满足 ​Q^TQ = E），使得 ​Q^TAQ = \Lambda。

5. 二次型与正定矩阵

二次型是将含有多个变量的二次齐次多项式转化为矩阵形式表示：

（其中 ​A 必须构造为实对称矩阵）。

化标准形

核心目标是通过坐标变换 ​x = Py 消除交叉项，将二次型化为只含平方项的标准形 ​f = \lambda_1 y_1^2 + \dots + \lambda_n y_n^2。常用的方法是正交变换法（​P 为正交阵，​\lambda_i 为 ​A 的特征值）。

正定矩阵 (Positive Definite)

若对于任意非零向量 ​x，都有 ​x^T A x > 0，则称二次型（或对称矩阵 ​A）是正定的。

• 判定方法：
  • 所有特征值 ​\lambda_i > 0。
  • 所有顺序主子式均大于 ​0。